[로봇공학] 공간 표시(Position, Orientation, Frame) / 2021.10.17

1. Position 위치의 표현 

- 기준 좌표계 {A}가 정해지면 3x1 혹은 2x1 벡터를 이용해서 위치를 표현한다.

- 기준좌표계가 없으면 3x1 2x1 벡터로 표현할 수 없다.

 

위치의 표현

3차원 공간

 

- Ap(A는 앞 첨자) :  P점을 기준 좌표계 {A}에서 표현한 벡터. {A} 좌표계 원점을 기준으로 길이와 방향을 갖는 벡터. 

X, Y, Z 성분으로 표현이 가능하다.

X, Y, Z성분으로 표현

 

- APx(A는 앞첨자) : P점을 기준 좌표계 {A}에서 표현한 벡터의 X 성분

 

2. Orientation 방위의 표현

- 물체(tool)에 좌표계를 부착하고, 물체 좌표계를 기준 좌표계에 대해서 표현한다.

 

방위 표현

 

방위표현 약속

(1) 원점이 같고 방향이 다른 두 개의 좌표계 {A} 와 {B}를 생각해보자.

 

원점은 같고 방향이 다른 좌표계 표현

 

(2) 3차원 공간에서의 원점이 같고 방향이 다른 좌표계 {A}와 {B}를 생각해보자.

 

3차원 공간에서의 표현

 

- 회전행렬(Rotation matrix)은 위의 열 벡터 3개를 묶어서 3x3 행렬로 표현한다. 열 벡터 r11, r21, r31 등은 스칼라이다.

 

- 위의 3x3 행렬의 원소의 값들을 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

 

- 위 식에서 행렬의 열은 {B}의 세 단위벡터를 {A}에서 표현한 것임을 알 수 있고,

- 행렬의 행은 {A}의 세 단위 벡터를 {B}에서 표현한 것임을 알 수 있다.

- 행렬을 더 정리해 보자.

 

* 회전 행렬의 역변환을 계산하는 대신 Transpose로 계산할 수 있다.

(3) Frame 계의 표현 

- 이 그림에서 로봇의 tool이 있는 곳을 정확하게 표현하는 데에는 Position(위치)와 orientation(방위)가 필요하다.

- 물체의 위치는 물체에 부착된 프레임(계)의 원점으로 정한다.

- 프레임의 표현은 orientation(방위)을 표현하는 벡터 3개, 프레임의 원점 position 벡터 1개 -> 총 4개의 벡터를 이용하여 표현한다.

 

(1) 예를 들어 위 그림의 프레임 {B}는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

(2) 프레임 {U}, {A}, {B}, {C}의 경우

 

 

 

- 프레임 {A}와 {B}는 Universe frame (우주 좌표계) {U} 기준으로 표현된다.

- 프레임 {C}는 프레임 {A}를 기준으로 표현된다.

- 프레임의 방위는 3개의 좌표축 단위 벡터로 표현된다.

- 기준 좌표계의 원점에서 프레임의 원점까지의 벡터(원점 벡터)는 프레임 원점의 위치를 표현하고 원점 벡터의 방향은 프레임이 표현되는 기준 좌표계를 알려준다.

(예) {A}에서 {C} 원점으로 화살표가 있고 이는 {C}가 {A}를 기준으로 표현된다는 것을 의미.

- Frame (계)의 표현은 한 좌표계의 다른 좌표계에 대한 표현이다. 계는 위치와 방위를 모두 포함하고 있다.